医師掲示板で回答が寄せられなかった問題 その2
今回も医師掲示板で解答が寄せられなかった問題を解いてみます。
問題は part5の④
① 正の整数ｎ（ｎ≧3）を正の整数の2組に分けるとき、
2つの数の順列が違えば異なる組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
例：（a、ｂ）が（1,2）（2,1）を区別する。
② ①で2つの数の順序が違っても同じ組とみなす場合
幾通りの分け方があるか。
例：（a、ｂ）が＝（1,2）（2,1）を同じ組とみなす。
③ 正の整数ｎ（n≧4）を正の整数3つの組に分けるとき、
3数の順序が違えば異なる組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
④ ③で3数の順序だけが違う場合は同じ組と考える場合、幾通りの分け方があるか。
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①②③は易しすぎますので④を解いてみましょう。
問題を書き換えれば ｘ+ｙ+ｚ＝ｎ を満たす、 １≦ｘ≦ｙ≦ｚ の組はいくつあるか。
この問題を解くには準備が必要、それが②の問題
②は「ｘ+ｙ＝ｎ １≦ｘ≦ｙ を満たす組の個数はいくつあるか」
「xが決まればｙは決まる」ので
ガウス記号[ ]をつかうと、ｘは1，2，3，4，・・・・・[n/2]通り。
ここで別の書き方をすれば[n/2]=n/2- 1/4+{(-1)^n}/4に注意しておこう。
これを利用すれば、ｘ+ｙ+ｚ＝ｎ を満たす、 １≦ｘ≦ｙ≦ｚ の組の個数は
ｘは1，2，3，4・・・・・[n/3]通りある。
残ったｎ-[n/3]を ｙとｚの2つに分ける組の数を求めればよい。
１≦ｋ≦[n/3]として、ｘ＝ｋのとき [(ｎ-ｋ)/3 ]–（k -1）
ｙの取り方は１≦ｋ≦[n/3]の総和。
[(ｎ-1])/2 ] +[(ｎ-2)/2 – 1] +[(ｎ-3)/2–2] +・・・+｛[(ｎ-[n/3])/2 –（ [n/3]] -1） ｝・・・※
つぎに
ｑはｎを3で割った余りで ｑ＝0，1，2
n=3ｐ+ｑ とおくと、※ は
[(3ｐ+ｑ-1)/2 ] +[(3ｐ+ｑ-2)/2 – 1] +[(3ｐ+ｑ-3)/2–2] +・・・+[(3ｐ+ｑ-ｐ)/2 ]–｛1+2+3+・・・+(ｐ-1）｝
｛1+2+3+・・・+(ｐ-1）｝＝ｐ（ｐ-2）/2 だから
S＝[(3ｐ+ｑ-1)/2 ] +[(3ｐ+ｑ-2)/2 – 1] +[(3ｐ+ｑ-3)/2–2] +・・・+[(3ｐ+ｑ-ｐ)/2 ] とおくと
もとめるｙの取り方はＳ－ ｐ（ｐ-2）/2通りある・・・・※※
これを答えにしてもいいが、美しくないのでさらに計算を進めていく。
つぎに
S＝[(3ｐ+ｑ－1)/2 ] +[(3ｐ+ｑ－2)/2-– 1] +[(3ｐ+ｑ－3)/2–2] +・・・+[(3ｐ+ｑ－ｐ)/2 ]
の順を逆にすると
S＝[ (2ｐ+ｑ）/2]+[ (2ｐ+ｑ+1）/2]+[ (2ｐ+ｑ+2）/2]+・・・
+[ ｛2ｐ+ｑ+（ｑ－2）｝/2]+ [ ｛2ｐ+ｑ+（ｑ－1）｝/2]
ここで[n/2]=n/2- 1/4+{(-1)^n}/4を利用して書き直すと
S＝ｐ（2ｐ+ｑ）/2-ｐ/4
+｛1/2+1+3/2+・・・+（ｐ－1）/2｝
+｛(－1)^ｑ｝/4+｛(－1)^（ｑ+1）｝/4+｛(－1)^（ｑ+2）｝/4
+｛(－1)^（ｑ+3）｝/4+・・・・+｛(－1)^（ｐ+ｑ－1）｝/4
δ＝｛(－1)^ｑ｝/4+｛(－1)^（ｑ+1）｝/4+｛(－1)^（ｑ+2）｝/4+｛(－1)^（ｑ+3）｝/4+・・・・+｛(－1)^（ｐ+ｑ－1）｝/4
とおくと、ｑ＝0，1，2 だから δ＝1/4、0、－1/4のどれかをとる。
1/2+1+3/2+・・・+（ｐ－1）/2＝｛1+2+3+・・・+（ｐ－1）｝/2＝ｐ（ｐ－1）/4
以上より
S＝ｐ（2ｐ+ｑ）/2－ｐ/4 +ｐ（ｐ－1）/4+δ
ｙの取り方は※※なので
[(3ｐ+ｑ－1)/2 ] +[(3ｐ+ｑ－2)/2 – 1] +[(3ｐ+ｑ－3)/2–2] +・・・+[(3ｐ+ｑ－ｐ)/2 ]–｛1+2+3+・・・+(ｐ－1）｝
＝ｐ（2ｐ+ｑ）/2－ｐ/4 +ｐ（ｐ－1）/4+δ― ｐ（ｐ－2）/2
＝ｐ（3ｐ+2ｑ）/４+δ
＝3ｐ（3ｐ+2ｑ）/１２+δ
＝（3ｐ+ｑ-ｑ）（3ｐ+ｑ+ｑ）+δ ・・・ ｎ＝3ｐ+ｑ だから
＝（ｎ-ｑ）（ｎ+ｑ）/12+δ
＝（n^2）/12－（ｑ^2）/12+δ ･･･※※※
ここで －ｑ^2）/12 + δ の値は
ｑ＝0のとき（ｑ^2）/12＝0、 δ＝0または1/4 だから０または1/4、
ｑ＝1のとき（ｑ^2）/12＝1/12、δ＝0または－1/4 だから－1/12または－1/3
ｑ＝2のとき（ｑ^2）/12＝1/3、 δ＝0または1/4 だから－1/3または－1/12
よって －（ｑ^2）/12+δ は－1/3、－1/12、0、1/4 の値をとる。
以上より ｎをｘ+ｙ+ｚ＝ｎ を満たす、 １≦ｘ≦ｙ≦ｚ
の組の数※※※（n^2）/12－（ｑ^2）/12+δ は
（n^2）/12－1/3≦（n^2）/12≦（n^2）/12 + 1/4 より
「（n^2）/12 に一番近い整数」となる。
