m3.comで解かれなかった数学問題の解答

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part　8
次数ｎの多項式P(x)が、
条件：ｋ＝0、1、2、3・・・、ｎに対し、P(k)＝ｋ/（ｋ+1）
を満たすとき、P(n+1）をもとめてください。

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この問題は、m3.comで解答が得られなかった問題。

答えを見ればなんてことのない問題です。

「P(x)が次数ｎの多項式」に着目し、

P(k)＝ｋ/（ｋ+1）を変形して、（ｋ+1）P(k)＝ｋ　ｋをｘに置き換え、ｘを左辺に移項すれば

（ｘ+1）P(ｘ)－ｘ＝0　この方程式の解がｘ＝0、1、2、3・・・、ｎ

P(x)がｎ次の多項式だから、左辺は（ｎ+1）次の多項式となる。

つまり、（ｘ+1）P(ｘ)－ｘ＝A・ｘ・（ｘ-1）・（ｘ-2）・・・・（ｘ-n）と置ける。

ここでｘ＝－1　をいれると　0+1＝A・｛（-1）^（ｎ+1）｝・（ｎ+1）！

1/｛（-1）^（ｎ+1）｝＝｛（-1）^（ｎ+1）｝だから

Ａ＝｛（-1）^（ｎ+1）｝/（ｎ+1）！

よって

P（ｘ）

＝1/（ｘ+1）・｛ｘ+（-1）^（ｎ+1）・ｘ（ｘ-1）・（ｘ-2）・・・・（ｘ-n）｝

ｘ＝ｎ+1を代入すると

P(n+1）＝1/（ｎ+2）・［ｎ+1+｛（-1）^（ｎ+1）｝・（ｎ+1）！/（ｎ+1）！］

　　　  ＝1/（ｎ+2）・｛ｎ+1+（-1）^（ｎ+1）｝

ここで、ｎが奇数の時　P(n+1）＝1　、ｎが偶数の時　P(n+1）＝ｎ/（ｎ+2） 

これが求めるP(n+1）である。

それほど難しくはないが、多くの医師たちは受験から離れているので

ｘ＝0、1、2、3・・・、ｎが（ｎ+1）次の方程式の解になることに気づかなかったと思う。

現役の時ならすぐに解いてしまう問題だと思う。